Lý Thuyết Nhị Thức Niu Tơn Kèm Các Dạng Toán Có Đáp Án

Nhị thức niu tơn là một trong những mục chính cần thiết vô đề thi đua lớp 11 na ná THPTQG. Bài ghi chép này sẽ hỗ trợ học viên bắt chắc chắn lý thuyết và dạng bài bác luyện về: thám thính thông số vô khai triển, thám thính số hạng vô khai triển, tính tổng, rút gọn gàng biểu, minh chứng biểu thức, giải phương trình, bất phương trình chỉnh ăn ý tổng hợp trải qua những ví dụ.

1. Lý thuyết nhị thức niu tơn

1.1. Định lý khai triển nhị thức niu tơn

Trong lịch trình toán giải tích lớp 11 vẫn học tập, khai triển nhị thức niu tơn(ngắn gọn gàng là ấn định lý nhị thức) là một trong những ấn định lý toán học tập về sự khai triển hàm nón của tổng. Định lý khai triển một nhị thức bậc n trở nên một nhiều thức sở hữu n+1 số hạng:

Bạn đang xem: công thức nhị thức newton

$\left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

Có $\left ( C_{k}^{n} \right )$ là số tổng hợp chập k của n thành phần ( $0\leqslant k\leqslant n$ ). Ta sở hữu ấn định lý, số những tổng hợp chập k của n thành phần vẫn cho tới như sau:

$\left ( C_{k}^{n} \right )=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}$

1.2. Công thức nhị thức niu tơn

1.2.1. Định lý

Với $\forall n\epsilon N^{*}$ với cặp số (a,b) tớ có:

Định lý nhị thức niu tơn lớp 11

1.2.2. Hệ quả

$\left (1+x\right)^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+...+x^{n}C_{n}^{x}$

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô ôn luyện kiến thức và kỹ năng ôn thi đua đảm bảo chất lượng nghiệp trung học phổ thông sớm tức thì kể từ bây giờ!!!

2. Các dạng toán nhị thức niu tơn

2.1. Cách thám thính thông số vô khai triển và thám thính số hạng vô khai triển

Với dạng toán này, những em hãy dùng số hạng tổng quát mắng (số hạng loại k+1) của khai triển. Tiếp theo đòi biến hóa nhằm tách riêng rẽ phần phát triển thành và phần thông số, tiếp sau đó phối hợp đề bài bác nhằm xác lập chỉ số k. Lưu ý số hạng bao gồm thông số + phần phát triển thành.

2.1.1. Ví dụ nhị thức niu tơn với cơ hội thám thính thông số vô khai triển

VD1: Hệ số của $x^{31}$ vô khai triển $\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

$\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{k}\left ( \frac{1}{x^{2}} \right )^{40-k}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{3k-80}$

Hệ số của x³¹ là $C_{40}^{k}$ với k vừa lòng ĐK 3k - 80 = 31 ⇔ k=37

Vậy thông số của $x^{31}$ là $C_{40}^{37} = 9880$

VD2: Hệ số của x³ vô khai triển nhị thức niu tơn $\left ( x^{2}+\frac{2}{x} \right )^{12}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

$(x^{2} + \frac{2}{x})^{12} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}(x^{2})^{12 - k}.(\frac{2}{x})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}.2^{k}.x^{24-3k}$

Ta có: 24 - 3k = 3 $\Leftrightarrow$ k = 7

Vậy thông số x³ trong khai triển là a₃ = $C_{12}^{7}.2^{7} = 101376$

2.1.2. Ví dụ về kiểu cách thám thính số hạng vô khai triển

VD1: Tìm số hạng không tồn tại x vô khai triển của nhị thức sau: $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ ; $x\neq 0$

Lời giải:

Số hạng tổng quát mắng vô khai triển $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ là $C_{12}^{k}x^{12-k}\frac{1}{x}^{k}=C_{12}^{k}x^{12-2k}$

Số hạng không tồn tại x ứng với k vừa lòng 12 - 2k = 0 ⇔ k=6

=> số hạng ko chứa chấp x là $C_{12}^{6}=924$

VD2: Số hạng ko chứa chấp x vô khai triển: $\left ( x-\frac{2}{\sqrt{x}} \right )^{n}$ biết $A_{2}^{n}=C_{n}^{n-2}+C_{n}^{n-1}+4n+6$

Lời giải:

$A_{2}^{n} = C_{n}^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} + 4n + 6 \Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n-1)}{2!} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n = 12$

Theo khai triển nhị thức Newton thì

$(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k}.(\frac{2}{\sqrt{x}})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}2^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k - \frac{k}{2}}$

Ta xét phương trình:

$12 - k - \frac{k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 8$

Vậy tớ hoàn toàn có thể Kết luận số hạng ko chứa chấp x vô khai triển $(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n}$ là:

$a_{0} = (-1)^{8}.2^{8}C_{12}^{8} = 126720$

VD3: Tìm số hạng chứa chấp $x^{\frac{10}{3}}$ vô khai triển của nhị thức niu tơn của $\left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

$(x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{2}})^{10} = \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x\sqrt[3]{x})^{10-k}.(\frac{2}{x^{2}})^{k}$

$= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x^{\frac{4}{3}})^{10-k}.\frac{2^{k}}{x^{2k}}$

$= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}.2^{k}.C_{10}^{k}.x^{\frac{4}{3}(10-k) - 2k}$

Ta xét phương trình $\frac{4}{3}(10-k) - 2k = \frac{10}{3} \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{\frac{10}{3}}$ trong khai triển của nhị thức Newton của $\left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}$ là:

$a_{\frac{10}{3}} = (-1)^{3}.2^{3}.C_{1}^{3}0x^{\frac{10}{3}} = -960x^{\frac{10}{3}}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng trong suốt lộ trình học tập kể từ thất lạc gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đòi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks canh ty bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không lấy phí ngay!!

2.2. Rút gọn gàng đẳng thức, minh chứng biểu thức

Phương pháp:

Nhận xét vấn đề kể từ bại liệt lựa chọn hàm số phù phù hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức (thông thông thường tớ hoặc dùng những hàm cơ bạn dạng $\left ( x+1 \right )^{n},\left ( 1+x \right )^{n},\left ( 1-x \right )^{n},\left ( x-1 \right )^{n}$ .
Khai triển nhị thức vừa vặn tìm kiếm ra và dùng những phép tắc biến hóa đại số, giải tích để sở hữu được dạng phù phù hợp với đề bài bác.
Chọn độ quý hiếm của x cho tới thích hợp để sở hữu được biểu thức như nhằm bài bác Thông thưởng tớ lựa chọn x là những số 1 hoặc -1 (cũng hoàn toàn có thể $\pm 2,\pm 3$ ...).

Vậy tớ đã có được tổng hoặc mệnh đề cần phải minh chứng.

2.2.1. Ví dụ về rút gọn gàng đẳng thức

VD1: Tính tổng: $S=C_{3030}^{0}-2C_{3030}^{1}+2^{2}C_{3030}^{2}-2^{3}C_{3030}^{3}+...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Lời giải:

Theo công thức nhị thức Niu tơn lớp 11 với a = 1, b= -2 tớ được:

$\left(1-2\right)^{3030}=C_{3030}^{0}1^{3030}-2C_{3030}^{1}1^{3029}+2^{2}C_{3030}^{2}1^{3028}-...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Xem thêm: nhiễm sắc thể là gì

VD2: Rút gọn gàng biểu thức sau:

$A= 2.1C_{n}^{2}-3.2C_{n}^{3}+...+n(n-1)(-1)C_{n}^{n}$

Lời giải:

a) Ta có:

$(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1}x + C_{n}^{2}x^{2} - C_{n}^{3}x^{3} +...+ (-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n} (1)$

Ta lấy đạo hàm bậc nhị theo đòi x cả nhị vế của phương trình (1) tớ được:

$-n(1 - x)^{n - 1} = -C_{1}^{n} + 2C_{n}^{2}x - 3C_{n}^{3}x^{2} + ...+ n(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 1}$

$n(n - 1)(1 - x)^{n - 2} = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}x + ...+ n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 2} (2)$

Thay x = 1 vô phương trình (2) tớ được:

$0 = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}+...+n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n} \Leftrightarrow A = 0$

2.2.2. Ví dụ minh chứng biểu thức

VD1: Chứng minh rằng: $C_{2001}^{0}+3^{2}C_{2001}^{2}+...+3^{2000}C_{2001}^{2000}=2^{2000}(2^{2001}-1)$

Lời giải:

$\left ( 1+x \right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{n}x^{n}$

Cho n = 2001 và x = 3 tớ được:

$4^{2021}=C_{2021}^{0}+3C_{2021}^{1}+...+3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (1)

Cho n = 2001 và x = -3 tớ được:

$-2^{2021}=C_{2021}^{0}-3C_{2021}^{1}+...-3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (2)

(1) + (2) vế theo đòi vế tớ được:

$\frac{1}{2}\left ( 4^{2021}-2^{2021}\right )=2^{2000}\left ( 2^{2021}-1 \right )=C_{2021}^{0}+3^{2}C_{2021}^{2}+...+3^{2000}C_{2021}^{2000}$

Điều cần bệnh minh

VD2: Chứng minh rằng:

$C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...=2^{n-1}$

Lời giải:

Ta có: $(1 + x)^{n} = C_{n}^{0}.x^{0} + C_{n}^{1}.x + C_{n}^{2}.x^{2} +...+ C_{n}^{n}.x^{n}$

$\rightarrow (1 + 1)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} +...+ C_{n}^{n} (1)$

và $(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}.C_{n}^{n}.x^{n}$

$\rightarrow (1 - 1)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}C_{n}^{n} (2)$

Ta lấy phương trình (1) + (2) tớ được:

$2^{n} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)$

$\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)$

Lấy (1) - (2) tớ được

$2^{n} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)$

$\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)$

Vậy $C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+... = C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+... = 2^{n-1}$

2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh ăn ý tổ hợp

Đối với dạng bài bác này, các em dùng những công thức tính số hoạn, tổng hợp chỉnh ăn ý nhằm biến hóa phương trình tiếp sau đó đánh giá ĐK của nghiệm và Kết luận.

VD1: Tìm n biết $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15$

Lời giải:

Điều khiếu nại $n\geqslant 2$

Giả thiết tương tự với:

$n+\frac{n(n-1)}{2}=15\Leftrightarrow n^{2}+n-30=0\Leftrightarrow n=5$ hoặc $n=-6$ (loại)

VD2: Cho khai triển $\left ( 1+2x \right )^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ . Tìm số vẹn toàn dương n biết $a_{0}+8a_{1}=2a_{2}=1$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

$(1 + 2x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}(2x)^{k} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}.2^{k}.x^{k}$

Từ bại liệt, tớ sở hữu thông số của x^k là $a_{k} = 2^{k}C_{n}^{k}$

Theo fake thiết vẫn cho tới của đề bài bác tớ có:

$C_{n}^{0} + 8.2.C_{n}^{1} = 2.2^{2}.C_{n}^{2} + 1 \Leftrightarrow 1 + 16n = 8.\frac{n(n - 1)}{2} + 1 \Leftrightarrow 4n^{2} - 20n = 0$

$\Leftrightarrow n = 5$

VD3: Tìm số đương nhiên n thỏa mãn: $C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+...+C_{2n}^{2n}=2^{2015}$

Lời giải:

Đặt:

$A = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{2} + C_{2n}^{4} +...+ C_{2n}^{2n}$

$B = C_{2n}^{1} + C_{2n}^{3} + C_{2n}^{5} +...+ C_{2n}^{2n - 1}$

Từ bại liệt tớ suy rời khỏi được:

$\left\{\begin{matrix} A + B = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} +...+ C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n} = (1 + 1)^{2n} = 2^{2n}\\A - B = C_{2n}^{0} - C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} -...- C_{2n}^{2n - 1}+ C_{2n}^{2n} = (1 - 1)^{2n} = 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A = \frac{2^{2n}}{2} = 2^{2015} \Leftrightarrow 2n = năm 2016 \Leftrightarrow n = 1008$

Nhận tức thì bí quyết đầy đủ cỗ cách thức giải từng dạng bài bác vô đề thi đua Toán trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Trên đấy là toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài bác luyện của hệ thức nhị thức niu tơn vô lịch trình Toán 11. Để đạt được sản phẩm cao các em nên thực hiện thêm thắt nhiều loại bài bác không giống nữa. Hy vọng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác luyện kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên thật thành thục. Để học tập và ôn luyện nhiều hơn nữa những phần kiến thức và kỹ năng lớp 12 đáp ứng ôn thi đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán, những em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo và huấn luyện tức thì kể từ ngày hôm nay nhé!

Bài ghi chép tìm hiểu thêm thêm:

Xem thêm: công thức thể tích khối cầu

Hoán vị, tổng hợp và chỉnh hợp

Quy tắc đếm

Phép demo và phát triển thành cố