căn bậc 2 của 2

By Admin 17/09/2023 0

"Hằng số Pythagoras" gửi nhắm đến trên đây. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 2

Căn bậc nhị của 2 bởi vì với chừng lâu năm của cạnh huyền của một tam giác vuông sở hữu nhị cạnh lòng bởi vì 1.

Căn bậc nhị của 2, hoặc lũy quá một nửa của 2, được viết lách là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao cho tới Lúc nhân với chủ yếu nó, cho tới tớ số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhị số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó sở hữu đặc thù tương tự động.

Trong hình học tập, căn bậc nhị của 2 là chừng lâu năm lối chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh lâu năm 1 đơn vị; xuất phát điểm từ tấp tểnh lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết trước tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhị của nhị với khuôn mẫu số nhỏ vừa phải nên là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 vô OEIS bao gồm những chữ số vô trình diễn thập phân của căn bậc nhị của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú thích. Ngoài việc đã cho chúng ta thấy căn bậc nhị của 2 vô hệ lục thập phân (1 24 51 10), bạn dạng khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì lối chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 hoàn toàn có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ bởi vì 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của √2 vô tứ chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, đích thị cho tới khoảng chừng sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân rất tốt của √2 sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện nay vô văn khiếu nại toán học tập của bấm Độ cổ kính, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng chừng lâu năm [của cạnh] bởi vì 1 phần phụ thân chủ yếu nó và 1 phần tư của 1 phần phụ thân và giảm xuống 1 phần phụ thân mươi tư của 1 phần tư tê liệt.[2] Tức là,

Các môn trang bị của Pythagoras phân phát hiện nay rằng lối chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể sánh được, hoặc theo đuổi ngữ điệu tân tiến, căn bậc nhị của 2 là một số trong những vô tỉ. Không nhiều điều được thấu hiểu về thời hạn hoặc tình cảnh của tò mò này, tuy nhiên cái brand name thông thường được nhắc tới là Hippasus của Metapontum. Các môn trang bị Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhị của 2 là một trong những kín đáo, và theo đuổi tiếng kể, Hippasus đã biết thành làm thịt vì như thế bật mý nó.[3][4][5] Căn bậc nhị của 2 nhiều khi còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như vô Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số trong những thuật toán nhằm xấp xỉ √2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhị số nguyên vẹn hoặc một số trong những thập phân. Thuật toán thông dụng nhất cho tới việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong vô số nhiều PC và PC đuc rút, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhị. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một số trong những a0 > 0 bất kì. Sau tê liệt, sử dụng số vừa phải đoán, tính từng số hạng theo đuổi công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần tiến hành quy tắc tính bên trên (tức là thêm thắt thứ tự tái diễn và số "n" càng lớn), cho tới tớ xấp xỉ càng chất lượng tốt của căn bậc nhị của 2. Mỗi thứ tự tính cho tới tớ khoảng chừng gấp hai số chữ số đích thị. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của √2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi vì team của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục cho tới việc tính √2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhị của 2 vô năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với trình diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng mực rộng lớn.[9] Những đo lường như thế hầu hết là nhằm đánh giá bởi vì thực nghiệm coi những số tê liệt liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ giản dị 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc dù cho có khuôn mẫu số đơn giản 70, chừng sai chênh chếch của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là một trong những giản phân của trình diễn liên phân số của căn bậc nhị của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào là ngay sát rộng lớn nên sở hữu khuôn mẫu số ko bé thêm hơn 169, bởi 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp sau với sai số khoảng chừng −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tứ vô cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, sở hữu sai số khoảng chừng 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045…

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục thời gian gần đây trong những công việc tính những chữ số của √2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng tư năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ cụt về tính chất vô tỉ của √2 dùng tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là một trong những nhiều thức monic với thông số nguyên vẹn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào là của P(x) cũng chính là một số trong những nguyên vẹn. gí dụng tấp tểnh lý cho tới nhiều thức P(x) = x2 − 2, tớ suy rời khỏi √2 hoặc là số nguyên vẹn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<√2<2 nên nó ko là một số trong những nguyên vẹn, vì thế √2 là một số trong những vô tỉ. Chứng minh này hoàn toàn có thể tổng quát: căn bậc nhị của bất kì số đương nhiên nào là ko nên số chủ yếu phương là một số trong những vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhị hoặc lùi vô hạn cho tới chứng tỏ rằng căn bậc nhị của bất kì số đương nhiên ko nên số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh bởi vì lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi chứng tỏ thông dụng nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là chứng tỏ bởi vì phản bệnh, vô tê liệt mệnh đề cần thiết chứng tỏ được fake sử là sai rồi suy rời khỏi fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết chứng tỏ là đích thị.

  1. Giả sử √2 là một số trong những hữu tỉ, tức √2 hoàn toàn có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô tê liệt a và b yếu tố bên cạnh nhau.
  2. Ta suy rời khỏi a2/b2 = 2 và a2 = 2b2.   (a2 và b2 là những số nguyên)
  3. Do tê liệt a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số nguyên vẹn k sao cho tới a = 2k.
  4. Thay 2k cho tới a vô đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tớ được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tớ được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả a và b đều là số chẵn, ngược với fake thiết rằng a và b là nhị số yếu tố bên cạnh nhau.

Vì tớ suy rời khỏi được một điều vô lý, fake sử (1) rằng √2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, √2 nên là một số trong những vô tỉ.

Chứng minh này được khêu gợi ý bởi vì Aristotle, vô cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo trước tiên xuất hiện nay vô cỗ Cửa hàng của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng chứng tỏ này sẽ không trực thuộc bạn dạng thảo gốc và vì thế ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum cho tới tính vô tỉ của √2.

Một trình diễn hình học tập của chứng tỏ bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum Lúc ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và thứ tự xuất hiện nay thời gian gần đây nhất là vô một bài bác báo bởi vì Noson Yanofsky vô tập san American Scientist số mon 5-6 năm 2016.[14] Cho nhị hình vuông vắn sở hữu cạnh là số nguyên vẹn a và b, vô tê liệt một chiếc sở hữu diện tích S gấp hai loại tê liệt, bịa nhị hình vuông vắn nhỏ vô hình vuông vắn rộng lớn như vô hình 1. Phần kí thác nhau ở thân thích sở hữu diện tích S ((2b − a)2) nên bởi vì tổng diện tích S của nhị hình vuông vắn nhỏ ko được bao phủ phủ (2(a − b)2). Như vậy tớ chiếm được nhị hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn thuở đầu và diện tích S điều này gấp hai loại tê liệt. Lặp lại quy trình này tớ hoàn toàn có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên nhân bọn chúng nên sở hữu cạnh là số nguyên vẹn dương, tức to hơn hoặc bởi vì 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol cho tới tính vô tỉ của √2.

Một chứng tỏ hình học tập dùng phản bệnh không giống xuất hiện nay năm 2000 vô tập luyện san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là một trong những chứng tỏ dùng cách thức lùi vô hạn, bên cạnh đó dùng quy tắc dựng hình bởi vì thước kẻ và compa và đã được biết kể từ thời Hy Lạp cổ kính.

Lấy △ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mũi n như vô Hình 2. Theo tấp tểnh lý Pythagoras, m/n = √2. Giả sử m và n là những số nguyên vẹn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BD và CE với tâm A. Nối DE hạn chế BC bên trên F. Dễ thấy, nhị tam giác ABC và ADE cân nhau theo đuổi cạnh-góc-cạnh.

Ngoài rời khỏi tớ cũng thấy △BEF là tam giác vuông cân nặng. Do tê liệt BE = BF = m − n. Theo tính đối xứng, DF = m − n, và △FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy rời khỏi FC = n − (m − n) = 2n − m.

Như vậy tớ sở hữu một tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2n − m và cạnh mặt mũi m − n. Chúng nhỏ rộng lớn m và n tuy nhiên sở hữu nằm trong tỉ lệ thành phần, ngược với fake thiết là m:n là tối giản. Do tê liệt, m và n ko thể nằm trong là số nguyên vẹn, nên √2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía cút không giống mang ý nghĩa kiến thiết là thiết lập một vách bên dưới cho tới hiệu của √2 và một số trong những hữu tỉ bất kì. Với nhị số nguyên vẹn dương a và b, số nón đích thị của 2 (tức số nón của 2 vô khai triển rời khỏi quá số nguyên vẹn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số nguyên vẹn không giống nhau; vì thế | 2b2 − a2 | ≥ 1 với từng a, b nguyên vẹn dương. Khi đó[16]

bất đẳng thức cuối đích thị bởi tớ fake sử a/b ≤ 3 − √2 (nếu ko thì hiệu bên trên phân biệt to hơn 3 − 2√2 > 0). Bất đẳng thức này cho tới tớ ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | √2 − a/b |, kể từ tê liệt kéo đến chứng tỏ tính vô tỉ thẳng tuy nhiên ko cần thiết fake sử phản bệnh. Chứng minh này cho rằng tồn bên trên một khoảng cách thân thích √2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ nào là.

Tính hóa học của căn bậc nhị của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của √2, bên cạnh đó cũng chính là nghịch ngợm hòn đảo của √2, xấp xỉ bởi vì 0.707106781186548, là một trong những độ quý hiếm thông thường gặp gỡ vô hình học tập và lượng giác vì như thế vectơ đơn vị chức năng tạo nên góc 45° với những trục thì sở hữu tọa độ

Xem thêm: 12 tuổi học lớp mấy

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm sở hữu tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b sở hữu tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội đổi khác về phương trình bậc nhị, tớ hoàn toàn có thể giải được δS = 1 + √2.

√2 hoàn toàn có thể được trình diễn theo đuổi đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhị và những quy tắc toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhị được khái niệm phải chăng cho tới số phức i và −i.

√2 cũng chính là số thực có một không hai không giống 1 tuy nhiên tetration vô hạn thứ tự bởi vì với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố nghiêm ngặt như sau: nếu như với số thực c > 1 tớ khái niệm x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Lúc n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 có một không hai thỏa f(c) = c2. Hay trình bày cơ hội khác:

√2 cũng xuất hiện nay vô công thức Viète cho tới π:

với m vết căn và đích thị một vết trừ.[17]

Ngoài rời khỏi, √2 còn xuất hiện nay trong vô số nhiều hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn chưa chắc chắn liệu √2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc thù mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách đo đếm trình diễn của chính nó vô hệ nhị phân đã cho chúng ta thấy sở hữu kỹ năng nó chuẩn chỉnh vô hệ cơ số nhị.[19]

Biểu trình diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng theo với những trình diễn tích vô hạn của sin và cosin cho tới ta

và

hoặc tương tự,

Ngoài rời khỏi tớ hoàn toàn có thể sử dụng chuỗi Taylor của những dung lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor cho tới cos π/4 cho tới ta

Chuỗi Taylor cho tới √1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! cho tới ta

Sử dụng đổi khác Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của sản phẩm, tớ được

Một công thức dạng BBP cho tới √2 vẫn không được mò mẫm rời khỏi, tuy vậy vẫn sở hữu những công thức dạng BBP cho tới π√2 và √2ln(1+√2).[20]

√2 hoàn toàn có thể trình diễn bởi vì phân số Ai Cập, với khuôn mẫu số bởi vì những số hạng loại 2n của một sản phẩm hồi quy tuyến tính như thể sản phẩm Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhị của 2 bởi vì sản phẩm giản phân.

Căn bậc nhị của 2 sở hữu trình diễn bởi vì liên phân số sau:

Những giản phân trước tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội √2 một khoảng chừng ngay sát bởi vì 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về √2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhị của 2 (căn bậc nhị của 1/2) là một trong những hằng số thông thường sử dụng.

(dãy số A010503 vô bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS vật lý cơ người Đức Georg Lichtenberg[22] phân phát hiện nay rằng ngẫu nhiên tờ giấy má nào là sở hữu cạnh lâu năm dài vội vàng √2 thứ tự cạnh cụt hoàn toàn có thể được gấp hai muốn tạo trở nên một tờ giấy má mới nhất sở hữu tỉ lệ thành phần y hệt tờ thuở đầu. Tỉ lệ giấy má này bảo đảm an toàn rằng hạn chế giấy má trở nên nhị nửa đã tạo ra những tờ giấy má nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ lệ thành phần. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa khung giấy vô thời điểm đầu thế kỷ đôi mươi, bọn họ sử dụng tỉ lệ thành phần của Lichtenberg muốn tạo trở nên giấy má gian khổ "A".[22] Hiện ni, tỉ lệ thành phần sườn hình (xấp xỉ) của khung giấy theo đuổi xài chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:√2.

Chứng minh:
Gọi cạnh cụt và cạnh lâu năm của tờ giấy má, với

theo đuổi ISO 216.

Gọi là tỉ số của 50% tờ giấy má thì

Xem thêm: thủ tục đăng ký kết hôn 2022

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhị của 3
  • Căn bậc nhị của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + √2
  • Căn bậc nhị của 2 tạo hình vô mối liên hệ Một trong những f-stop của thấu kính máy hình họa, kéo đến tỉ lệ thành phần diện tích thân thích nhị khẩu chừng thường xuyên là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 2√2.
  • Công thức Viète cho tới pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc mặc dù thời nay cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá thông dụng, không tồn tại dẫn chứng thẳng nào là đã cho chúng ta thấy cơ hội người Babylon tính xấp xỉ √2 bên trên bạn dạng khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson khuyến cáo một số trong những fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày đôi mươi mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Lúc viết lách về chứng bệnh mihn bởi vì phản bệnh, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể sánh được với cạnh của chính nó, chính vì số lẻ tiếp tục thông qua số chẵn nếu như bọn chúng sánh được với nhau".
  12. ^ Phiên bạn dạng giờ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất bạn dạng bởi vì E. F. August bên trên Berlin vô 1826–1829 đem chứng tỏ này vô phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên bạn dạng của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm 2016.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú thích 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach to tát Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng tư năm 2010.Quản lý CS1: bạn dạng tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu vãn sản phẩm số nguyên vẹn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, vô Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, Phường. (2001), “Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhị của Hai cho tới 5 triệu chữ số bởi vì Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhị của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn tập luyện những bệnh minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root √2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.